我们都知道，爱因斯坦的广义相对论是现代物理学的基石之一，它揭示了时空和物质之间的深刻联系。广义相对论告诉我们，时空并不是一成不变的，而是一个动态的实体，它会随着物质的分布和运动而发生变化。
在许多科普文章当中，弯曲的时空和扭曲的时空是混用的。但是，在广义相对论中，时空的弯曲和扭曲并不是一回事。那么，弯曲时空和扭曲时空有什么区别呢？
什么是时空
首先，我们要明白什么是时空。简单地说，时空就是我们生活的四维世界，它包括三个空间维度和一个时间维度。我们可以用一个坐标系来描述时空中的任何事件或物体，例如（x,y,z,t），其中x,y,z表示空间位置，t表示时间。
时空不是一个抽象的数学概念，而是一个真实的物理实体。它可以被测量和观察。例如，我们可以用光来探测时空的性质。光在真空中沿着直线传播，这条直线就是时空中的最短路径，也叫作测地线。这样，我们就可以通过观察光线的偏折来判断时空是否有弯曲或扭曲。
弯曲的时空
弯曲可以描述时空中不同方向之间存在角度偏差，它由黎曼曲率张量来表达。黎曼曲率张量是一个四阶反对称张量场，它定义为：R(X,Y,Z,W)=g(R(X,Y)Z,W)。其中 X,Y,Z,W 是任意的向量场， g 是黎曼流形上的度量， R(X,Y)Z 是一个向量场，它表示沿着 X 和 Y 方向的平行移动后， Z 向量的变化量。
黎曼曲率张量衡量了协变导数的反交换性，即平行移动的顺序对结果的影响。如果黎曼曲率张量为零，那么协变导数就是对易的，即平行移动的顺序无关紧要。在这种情况下，流形就是平直的。
现在，我们就以一种更容易懂的方式，来描述曲率的几何意义。当时空存在曲率时，一个矢量沿着闭合曲线平移一周后，它并不与原矢量重合，而是相差一个角度。必须再附加一个转动，它俩才能重合，而这个附加的转动，正是空间曲率（弯曲）产生的几何效应。
在物理上，黎曼曲率张量可以描述时空中存在的引力场或物质能量分布，它们会使得时空产生弯曲。例如，在广义相对论中，引力场方程是一个关于黎曼曲率张量和能动张量的方程，它反映了物质和能量对时空弯曲的影响。在这种理论中，时空是弯曲的。
扭曲的时空
扭曲可以描述时空中不同点之间存在平移偏差或旋转偏差，它由挠率张量来表达。挠率张量是一个三阶反对称张量场，它定义为：T(X,Y)=∇XY−∇YX−[X,Y]。其中 X,Y 是任意的向量场， ∇是任意的仿射联络， [X,Y] 是向量场的Lie括号。
挠率张量衡量了联络的非对称性或非度量性，即协变导数与向量场的交换不一致。如果挠率张量为零，那么联络就是对称的或度量的，即协变导数与向量场的交换一致。在这种情况下，联络就是Levi-Civita联络，它是黎曼流形上唯一确定的度量联络。
同样，我们用易懂的语言描述挠率的几何意义。空点一点O有两个矢量分别为OQ和OQ'。OQ沿着OQ'的方向平移到Q’点，得到矢量O'P'；OQ'沿着OQ的方向平移到Q点，得到矢量OP。如果空间不存在挠率，那么P点和P'点重合；如果空间存在挠率，则两点不重合，必须附加一个移动才会重合。而这个附加的移动，就是挠率（扭曲）的几何效应。
在物理上，挠率张量可以描述时空中存在的自旋-自旋相互作用或自旋-轨道相互作用，它们会使得时空产生扭曲。例如，在爱因斯坦-卡尔坦理论中，引力场方程包含了挠率张量作为一个源项，它反映了物质的自旋密度。在这种理论中，时空不仅有弯曲，还有扭曲。
